Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

• Множество, в котором для любого натурального числа найдётся конечное подмножество из элементов.
• Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
• Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
• Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами (англ.) и обозначаются где индекс пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют

Примеры

• Множества натуральных чисел целых чисел рациональных чисел действительных чисел комплексных чисел — являются бесконечными множествами.
• Множество функций является бесконечным.
• Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке
• Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также

• Бесконечность
• Кардинальное число
• Аксиоматика теории множеств
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гипотеза